Jedním z nejnápadnějších a zároveň vcelku běžných optických úkazů v atmosféře jsou duhy vznikající při průchodu slunečních paprsků vrstvami vzduchu, které obsahují dostatečný počet větších vodních kapek (obvykle kapek deště). Tento jev se vytváří v důsledku vnitřního odrazu světelných paprsků na povrchu kapek a podle [25] jej popisujeme jako prostý vnější odraz a dvojnásobný lom světla.

Obr. 1.6.2 Jeden vnitřní odraz světelného paprsku na vodní kapce [1].	Obr. 1.6.3 Dva vnitřní odrazy světelného paprsku na vodní kapce [1].

Na obr.1.6.2 resp. obr. 1.6.3 vidíme schematické znázornění průchodu světelného paprsku (původně rovnoběžného se souřadnicovou osou x) kapkou v případě, kdy dochází k jednomu, resp. ke dvěma vnitřním odrazům. Úhel, pod nímž paprsek na kapku dopadá, značíme a, zatímco b představuje příslušný úhel lomu. Z uvedených obrázků je zřejmé, že paprsek vystupuje z kapky pod stejným úhlem jako na ni dopadá a tento závěr lze evidentně zobecnit pro jakýkoliv počet vnitřních odrazů.

Symbolem d^(k) budeme v dalším značit rozptylový úhel vystupujícího paprsku, který podstoupil k-2 vnitřních odrazů (tj. k = 3 pro jeden vnitřní odraz, k = 4 pro dva vnitřní odrazy atd.). Za rozptylový úhel v tomto případě považujeme celkový úhel stočení paprsku vůči jeho původnímu směru, tzn. že u vícenásobných odrazů uvnitř kapky může být d^(k) větší než p. Úhel z intervalu <0, p> sevřený paprskem vystupujícím z kapky a směrem původních dopadajících paprsků lze potom u lichého počtu vnitřních odrazů určit tak, že od d^(k), k>2 odečteme nejvyšší celočíselný násobek menší než 2p a při sudém počtu vnitřních odrazů jej stanovíme jako doplňkovou hodnotu do nejbližšího vyššího celočíselného násobku 2p. Názornou ukázku v tomto směru lze dobře demonstrovat na obr. 1.6.2 a 1.6.3.

V případě jednoho vnitřního odrazu vystupuje paprsek nalézající se přímo v ose x (tzn. a = 0) z kapky ve směru přesně opačném ke směru dopadajících paprsků a d⁽³⁾ = p. Posunujeme-li dopadající paprsek (při zachování jeho směru) dále od osy x, zmenšuje se úhel stočení až k jisté hodnotě d_min⁽³⁾<p a s dalším vzdalováním dopadajícího paprsku od osy x úhel d⁽³⁾ opět poněkud roste. Obdobnou situaci lze popsat i pro případ dvojnásobného vnitřního odrazu.

Mezi základní zákonitosti geometrické optiky patří tzv. princip minimální odchylky. Podle něj v těch případech, kdy ve funkční závislosti úhlu stočení paprsku (vůči jeho původnímu směru) na úhlu dopadu existuje lokální minimum, dochází ve směrech odpovídajících této minimální odchylce ke koncentraci intenzity světla. Právě zmíněný princip lze aplikovat nejen na lom světla na průzračných sférických částicích spojený s vnitřními odrazy, ale i např. na lom světla hranolem. Této skutečnosti využijeme v kapitole 1.7 k výkladu řady halových jevů. V případě pouhého lomu světla na kapkách bez vnitřních odrazů se však ukazuje [1], že rozptylový úhel je monotónně rostoucí funkcí úhlu dopadu, a princip minimální odchylky proto nelze aplikovat.

Intenzita světla, jež podstoupilo k-2 vnitřních odrazů, je podle Bednáře [1] přímo úměrná:

.    (1.6.2)

Pro vyjádření závislosti úhlu d^(k), k>2 na úhlu dopadu lze odvodit obecný vzorec

,    (1.6.3)

z něhož derivováním dostáváme

.    (1.6.4)

Dosadíme-li za db/da tzv. diferenciální tvar Snellova zákona, který obdržíme diferencováním (1.5.2) (n₂₁ značíme n_r)

,    (1.6.5)

získáme vztah pomocí kterého lze (1.6.2) upravit do výsledného tvaru

.    (1.6.6)

Výraz na pravé straně (1.6.6) ztrácí fyzikální smysl, nabývá-li nekonečně velké hodnoty, k čemuž dochází v případech:

1.    (1.6.7)

2. sind^(k) = 0 (1.6.8)

Prvá z těchto singularit souvisí se vznikem duh a ihned ji podrobně popíšeme, zatímco druhou, tj. sind^(k) = 0, se budeme blíže zabývat v kapitole 1.6.2.3.

Předpokládejme, že je splněn vztah (1.6.7), a jednoduchou úpravou z něho odvodíme

Pomocí goniometrického vzorce sin²a+cos²a = 1 a (1.5.2) můžeme naposled uvedený vzorec dále upravit do tvaru

,

po umocnění a novou aplikací goniometrického vzorce sin²a+cos²a = 1 posléze dostaneme

.

Odtud snadno vypočteme

,    (1.6.9)

což je zřejmá podmínka toho, aby prvá derivace funkční závislosti d^(k)(a) byla rovna nule. Jestliže pro tento případ platí d²d^(k)(a)/da²>0, potom se jedná o lokální minimum funkce d^(k)(a). To znamená, že paprsek dopadající na kapku pod úhlem a vyhovujícím vztahu (1.6.9) (podstupující k-2 vnitřní odrazy) odpovídá zmíněné minimální odchylce. Derivováním (1.6.4) znovu podle proměnné a obdržíme po přihlédnutí k (1.6.5) a (1.5.2)

.

Pro úhly aa b z intervalu (0, p/2) platí sina>0, cosa>0 dále je zřejmé, že při k>2 máme (k-1)/n_r0. Při lomu světla na rozhranní dvou prostředí platí

a vzhledem k tomu, že v našem případě jde o lom ke kolmici (lom světla ze vzduch do vodní kapky) musí být v (1.6.5) splněno |da| = |db|, tzn.

cosa<n_rcosb,    (1.6.10)

a tedy cos²a-n_r²cos²b<0. To však znamená, že pro jakýkoliv úhel a z intervalu (0, p/2), a tedy i pro a splňující podmínku (1.6.9), platí

   (1.6.11)

Tím je zcela exaktně dokázáno, že vztah (1.6.9) skutečně vyjadřuje podmínku pro minimální odchylku.

Obraťme se k případu jednoho vnitřního odrazu, tj. k = 3. Z (1.6.9) pak okamžitě dostáváme

,

odtud pro n_r = 1,33 vyplývá 59^o35' a dosazením do (1.5.2) a (1.6.3) dostáváme 40^o25', 138^o. Ve směrech odpovídajících tomuto rozptylovému úhlu dochází ke koncentraci intenzity světla a na obr. 1.6.2 je znázorněna situace, kdy vystupující paprsek přísluší minimální odchylce, zax dopadají na kapku přímé sluneční paprsky. Protože pro nepolarizované přímé sluneční světlo se jedná o problém válcově symetrický vůči paprsku procházejícímu středem kapky, přejdeme od rovinného znázornění k prostorovému vyjádření otáčením obrázku kolem osy x. Stopa vystupujícího paprsku potom ve zpětném promítnutí na zdánlivou nebeskou sféru opíše kružnici, jejíž část je při dostatečné vzdálenosti slunečního disku od zenitu patrná nad obzorem.

Obr. 1.6.4 Vznik barev duhy [20].

Vznik barev duhy je ovlivňován interferencí světla. Pro jednoduchost zatím předpokládáme, že na kapku hlavní duhy dopadá monochromatické světlo. Paprsky dopadající na kapku (viz obr. 1.6.4) pod úhly většími i menšími, než odpovídá minimální odchylce, se po průchodu kapkou rozbíhají. Čela optických vln jsou k sobě skloněna v určitém úhlu a vlnění mající koherentní zdroj spolu interferují. V místech stejné fáze se zesiluje intenzita (černé body na obr. 1.6.4) a v místech opačné fáze se optický účinek ruší (malé kroužky). Celkový účinek interference se projeví tím, že se bude v úhlech větších než je minimální odchylka postupně intenzita světla zesilovat a zeslabovat. S větším úhlem d bude hodnota maxim klesat. Maximální intenzita světla nebude odpovídat přesně úhlu minimální odchylky d, ale úhlu nepatrně většímu.

Stejně jako byla popsána dráha světelných paprsků z monochromatického zdroje, chová se každá spektrální barva zvlášť (chod paprsků vodní kapkou je znázorněn na obr. 2.1.4.3, 2.1.4.4 a 2.1.8.1). Úhel minimální odchylky i polohy maxim a minim intenzity světla jsou však jiné. Překládáním barev vznikne obraz duhy. Hlavní maxima křivek intenzity světla pro jednotlivé barvy značí barvy hlavní duhy, kdežto vedlejší maxima, která odpovídají většímu úhlu d, tvoří podružné duhové oblouky. Velikost kapiček přímo ovlivňuje velikost i vzdálenost maxim intenzity světla. Tím si vysvětlíme, že někdy má duha barevné pruhy užší, jindy širší, popř. že některé barvy v duze chybějí.

Foto. 1.6.2.1. Hlavní a vedlejší duha (Plzeň).

Protože však index lomu l závisí na vlnové délce světla, liší se při stejném úhlu dopadu pro různé vlnové délky úhel lomu, a tím i úhel minimální odchylky d. Zmíněný oblouk pak vnímáme jako spektrum barev duhy (viz obr. 2.1.4.5).

Jedním vnitřním odrazem přímých slunečních paprsků na vodních kapkách vzniká hlavní (neboli primární) duha, která má vnější (horní) okraj červený a vnitřní (dolní) fialový. Úhlová šířka pásu barev bývá kolem 2^o a jednoduchou trigonometrickou úvahou lze dospět k závěru, že při 138^o se nejvyšší část duhového oblouku nalézá v takové úhlové výšce a* nad geometrickým obzorem, pro niž platí vztah

a*,

kde a_s značí úhlovou výšku Slunce. Odtud je zřejmé, že s klesající výškou Slunce nad obzorem se oblouk duhy stále více vysouvá vzhůru a na druhé straně při poloze Slunce více než 42^o nad obzorem nelze hlavní duhu ze země pozorovat.

Dvojnásobným vnitřním odrazem slunečních paprsků na vodních kapkách se vytváří vedlejší (sekundární) duha a v tomto případě k = 4, tzn. že z (1.6.9) vyplývá

.

Pro n_r = 1,33 pak vyplývá 72^o, 45^o40', 230^o. Protože však se zde jedná o sudý počet vnitřních odrazů, svírá vystupující paprsek se směrem dopadajících paprsků úhel doplňkový k do hodnoty 360^o, tj. přibližně 130^o, což zpětně promítnuto na zdánlivou nebeskou sféru (viz obr.1.6.3) znamená, že vedlejší duha se nalézá asi 8^o nad duhou hlavní. Vedlejší duha má díky dvěma vnitřním odrazům na rozdíl oproti duze hlavní větší úhlovou šířku barevného pásu (asi 4^o), je méně výrazná a má převrácený sled barev (vnější okraj fialový, vnitřní červený).

Foto. 1.6.2.2. Hlavní a vedlejší duha (USA).

Je zřejmé, že při pozorování hlavní i vedlejší duhy musí mít pozorovatel Slunce v zádech (viz. obr. 2.1.4.5), hlavní i vedlejší duha vznikají jako barevný oblouk kolem tzv. protislunečního bodu (tj. bod ve kterém protíná oblohu spojnice Slunce a pozorovatele).

Vzácným optickým úkazem je terciální duha, nazývaná též "duha kolem Slunce", kterou vytvářejí paprsky podstupující na vodních kapkách tři vnitřní odrazy. V tomto případě svírají paprsky vystupující z kapky s minimálním stočením se směrem přímých slunečních paprsků úhel přibližně 43^o, a duhu lze proto pozorovat v této úhlové vzdálenosti od slunečního disku, tzn. "kolem Slunce". Duhy ještě vyššího řádu vytvářené čtyř a vícenásobným vnitřním odrazem slunečních paprsků jsou natolik slabé, že jejich pozorování pouhým okem by bylo třeba počítat k mimořádným optickým úkazům v amosféře.

Jak jsme již uvedli, na vnitřní straně hlavní duhy a na vnější straně vedlejší duhy bývají poměrně často patrné tzv. podružné duhové proužky. Výklad tohoto úkazu nelze provést na základě geometrické optiky, neboť jde o interferenční jev obdobný ohybu světla na hraně (viz např. foto. 1.6.2.1). Paprsky určité vlnové délky, které na kapku dopadají pod úhly většími nebo menšími než odpovídá minimální odchylce, vystupují z kapky se stočením větším, než je příslušná hodnota , a nepronikají tedy mimo svoji část prostoru vymezenou pláštěm kuželu vytvořeného paprsky s minimální odchylkou. Tento plášť působí analogicky jako hrana pro světlo neprostupné poloroviny postavené do cesty světelným paprskům, čímž vzniká charakteristický ohybový jev patrný pro jednotlivé vlnové délky jako soustava maxim a minim intenzity světla. Ve spojitém spektru slunečního záření pak vzniká několikanásobné opakování duhového sledu barev, avšak jev velmi rychle slábne s rostoucí vzdáleností od hlavní nebo vedlejší duhy.

Pro praktického pozorovatele může být velmi zajímavá souvislost vzhledu hlavní, popř. vedlejší duhy s velikostí vodních kapek, na nichž dochází k vnitřním odrazům slunečních paprsků. Uvádíme proto podle Podzimka [20] tab.1.6.2, v níž nalezneme orientační popis podoby spektra barev duhy v závislosti na poloměru a vodních kapek.

Zpracováno na základě literatury [1], [6] a [20].