a) Prodloužení trvání dne

Příklad 8 (U[22],[26])

Následkem astronomické refrakce jsou zenitové vzdálenosti těles na obloze menší než skutečné, jak jsme si ukázali v příkladu 2. Toto zmenšení je zvláště patrné u obzoru, proto vidíme Slunce a jiné hvězdy ještě určitou dobu po jejich západu a o něco dříve před jejich východem (viz obr. 2.1.2.2 nebo obr. 2.2.1.1). Následkem toho se také prodlužuje trvání dne.

Vypočtěte, o kolik minut se prodlouží den 24. května pro zeměpisnou šířku j= 47^o13´ (deklinace Slunce v tento den je d= 20^o37´).

Dobu prodloužení dne si určíme z rozdílu časů po prodloužení (doba trvání dne se započtením doby způsobené astronomickou refrakcí) a doby, po kterou by vám trval den bez prodloužení. Zajímají nás doby, po kterých se bude Slunce pohybovat po nebeské sféře od okamžiku východu do okamžiku jeho západu. Tu určíme z dvojnásobku hodinového úhlu t (viz např. [4]).

Vyjdeme z rovnice pro převod obzorníkových souřadnic na rovníkové (1.8.2)

tj. sin h, kde h je výška Slunce nad (pod) obzorem, d je deklinace Slunce, t je hodinový úhel a j je zeměpisná šířka místa pozorovatele.

V okamžiku západu Slunce bude výška Slunce nad obzorem h = 0^o, a tedy sin h = 0. Dvojnásobná hodnota hodinového úhlu t nám dá dobu trvání dne. Potom platí:

,   (2.1.2.3)

a dosadíme-li cost = -0,40650406,
což je ve stupních t = 113,98541^o,
v hodinách t = 7 hod 35 min 56 s,
a dvojnásobná doba t^*15 hod 12 min.

Refrakcí se zdánlivě zvyšuje výška tělesa nad obzorem. U obzoru je refrakce asi 35´, takže v okamžiku zdánlivého východu nebo západu tělesa je jeho skutečná výška -0^o35´. Ze vzorce (1.8.2) určíme hodinový úhel:

.   (2.1.2.4)

Pro Slunce a Měsíc bereme jako okamžik východu a západu okamžik východu a západu jejich horního okraje. Protože úhlový poloměr Slunce i Měsíce je 16´ (viz př. 14), je skutečná výška středu těchto těles -35´-16´= -51´. Hodinový úhel t´ vypočítáme podle vztahu:

,    (2.1.2.5)

a dosadíme-li ,
což je ve stupních t´ = 115,45735^o,
dvojnásobná doba t^*´ 15 hod 24 min.

Doba prodloužení dne za daných podmínek je ^* = t^*´ - t^* 12 min.

Příklad 9

Sestrojte graf (pomocí programu EXCEL) závislosti prodloužení dne na zeměpisné šířce. Vytiskněte grafy pro d = 0^o (jarní a podzimní rovnodennost), d= -23,5^o (zimní slunovrat), d = 23,5^o (letní slunovrat). Měňte postupně deklinaci a určete, kde a kdy je prodloužení trvání dne maximální a kdy minimální. Vypočítejte, kdy refrakce prodlouží den natolik, že Slunce vůbec nezapadne.

Graf. 2.1.2.2 Závislost prodloužení trvání dne na zeměpisné šířce (při dané deklinaci)

Řešení:

Z grafu 2.1.2.2 je zřejmé, že se prodloužení dne zvětšuje s rostoucí zeměpisnou šířkou a že pro danou zeměpisnou šířku je vždy prodloužení dne nejmenší při rovnodennosti (d =0^o).

Aby Slunce nezapadlo, musí být zeměpisná šířka pozorovacího místa j větší než zeměpisná šířka j_m, kdy den s prodloužením bude vlivem refrakce trvat přibližně 24 hodin

t^*´ = 24 hod,

a tedy hodinový úhel ve stupních t´=180^o.

Potom platí cos t´ = -1 a z (2.1.2.5) dostaneme kvadratickou rovnici

.   

Zavedeme substituci x= sin j_m a nalezneme kořeny této rovnice.

Pro d = 0^o je j_m = 89^o

d = 23,5^o j_m = 65^o40´

d = -23,5^o j_m = 67^o21´.

V místech s touto zeměpisnou šířkou trvá den se započtením vlivu refrakce přesně 24 hodiny (v grafu 2.1.2.2 jsou tato místa označena x ). Pro zeměpisné šířky j > j_m při dané deklinaci Slunce vůbec nezapadne (když ).

Deklinace se během roku mění. Její hodnoty pro určitý den v roce najdeme vždy v hvězdářské ročence pro příslušný rok (např.[[21]). Pomocí programu EXCEL sestrojte graf závislosti prodloužení dne na 50^o SŠ na ročním období (deklinaci). Kdy bude maximální a kdy minimální?

Řešení:

Z grafu je zřejmé, že nejvíce se bude prodlužovat den při letním a zimním slunovratu (asi 13,5 min), nejméně při rovnodennosti (asi 10,5 min). Graf neuvádíme, protože tato závislost má zcela analogický průběh se závislostí v grafu 2.1.2.3.

Příklad 11

Určete, o kolik se prodlouží doba, po kterou je vidět nad obzorem hvězda Vega (a Lyr), jejíž deklinace je d = 38^o45´. Zeměpisná šířka pozorovacího místa je 50^o.

Návod: Použijte vztahy (2.1.2.3) a (2.1.2.4) (hvězdu vnímáme jako bod).

[^*40 min]

Proč není za rovnodennosti délka dne přesně rovna délce noci? Vypočtěte o kolik minut bude den delší než noc na 50^o SŠ.

Návod: Použijte vztahy (2.1.2.3) a (2.1.2.5).

Řešení:

V důsledku astronomické refrakce dochází k prodloužení trvání dne. Za rovnodennosti je d = 0^o, potom délka trvání dne bez započítání refrakce je 12 hod (cos t = 0), se započtením refrakce

cos t´ = -0,013847,

což je ve stupních t´ = 90,79340001^o,
dvojnásobná doba t^*´ 12 hod 6 min.

Na 50^o SŠ bude za rovnodennosti den trvat 12 hod 6 min a noc 11 hod 54 min, den bude tedy o 12 minut delší než noc.