Chov�n� hmotn�ch objekt�, jsme d��ve popisovali pomoc� Newtonovy mechaniky. V mikrosv�t� se v�ak u nich projevuj� krom� ��sticov�ch vlastnost� i vlastnosti vlnov�. Jak�m zp�sobem tedy spr�vn� (v souladu s v�sledky experiment�) popsat chov�n� mikroobjekt�?

Newtonova mechanika je teori�, kter� byla vytvo�ena pro popis hmotn�ch objekt� sv�ta na�� smyslov� zku�enosti. Pro mnoho jev� jsou jej� v�sledky v pln�m souladu s realitou. Uk�zali jsme, �e ne v�echny jevy lze Newtonovou mechanikou �sp�n� vysv�tlit. S jednou takovou oblast� jev� jsme se setkali p�i prob�r�n� speci�ln� teorie relativity. Pro popis chov�n� ��stic p�i rychlostech bl�zk�ch rychlosti sv�tla ve vakuu je nutn� pou��t speci�ln� teorii relativity, nebo� v�sledky Newtonovy mechaniky se zde s realitou rozch�zej�. To v�ak v ��dn�m p��pad� neznamen�, �e by Newtonova mechanika byla �patnou teori�! Pouze jsme nalezli podm�nky, kter� omezuj� jej� pou�itelnost na popis jev�, p�i kter�ch se t�lesa pohybuj� s rychlost� v<< c. Do podobn� situace se dost�v�me p�i snaze popsat chov�n� mikroobjekt�. Vlastnosti mikroobjekt� se podstatn� odli�uj� od vlastnost� objekt� makrosv�ta. Objevili jsme nov� dal�� omezen� platnosti Newtonovy mechaniky. Bude proto pot�eba vytvo�it teorii, kter� l�pe pop�e vlastnosti hmotn�ch objekt� v mikrosv�t�. Touto teori� se stala kvantov� mechanika.

Kvantov� mechanika popisuje chov�n� mikroobjekt� (jako jsou elektrony, protony, atomy,�).

Ervin Schrodinger
(1887-1961)

De Broglieho hypot�zu zobecnil rakousk� fyzik Erwin SCHR�DINGER, kter� ka�d�mu mikroobjektu p�i�adil tzv. vlnovou funkci Y. De Broglieho vlna je speci�ln�m p��padem vlnov� funkce; je to vlnov� funkce p�i�azen� voln�mu mikroobjektu s ur�itou hybnost� p.
 
 

Fyzik�ln� interpretace v�znamu vlnov� funkce:

Nech� vlnov� funkce Y je p�i�azena dan�mu mikroobjektu. Hodnota vlnov� funkce Y(x,y,z,t) v bod� o sou�adnic�ch x, y, z v �ase t souvis� s pravd�podobnost� v�skytu dan�ho mikroobjektu v tomto bod� a �ase. Y sama o sob� v�ak nem� ��dn� p��m� fyzik�ln� v�znam. Existuje jednoduch� d�vod, pro� nelze Y p��mo experiment�ln� nam��it. Pravd�podobnost P, �e mikroobjekt bude nalezen v n�jak�m m�st� v dan�m �ase, m��e nab�vat jak�koliv hodnoty mezi dv�ma hrani�n�mi p��pady: nulou, je� odpov�d� jist� nep��tomnosti, a jedni�kou, odpov�daj�c� naprosto jist� p��tomnosti mikroobjektu (nap��klad pravd�podobnost 0,2 znamen� dvacetiprocentn� nad�ji, �e mikroobjekt bude v dan�m m�st� a �ase nalezen). Av�ak v�chylka ka�d� vlny m��e b�t kladn� i z�porn�, ale z�porn� pravd�podobnost nem� smysl. Tato n�mitka se ov�em net�k� veli�iny |Y|², �tverce absolutn� hodnoty vlnov� funkce, nebo� ta nab�v� pouze nez�porn�ch hodnot²².

V roce 1926 navrhl n�meck� fyzik Max BORN pou��t hodnoty |Y|² jako m�ry pravd�podobnosti v�skytu mikroobjektu v dan�m m�st� a �ase.

Je-li mikroobjekt pops�n vlnovou funkc� Y(x,y,z,t),  pak pravd�podobnost jeho nalezen� v okol� bodu x, y, z v �ase t je �m�rn� hodnot� |Y(x,y,z,t)|2 v tomto m�st� a v tomto �ase.

MaxBorn
(1882-1970)

Velk� hodnota |Y(x,y,z,t)|² znamen� vysokou m�ru mo�nosti v�skytu mikroobjektu v okol� bodu x, y, z v �ase t, kde�to mal� hodnota |Y(x,y,z,t)|² znamen� naopak malou nad�ji jeho nalezen� v okol� bodu x, y, z v �ase t. Jakmile v�ak ji� |Y(x,y,x,t)|² n�kde nen� p�esn� rovna nule, existuje jist� nad�je, t�eba i mal�, �e v dan�m m�st� mikroobjekt nalezneme.

|Y|² se naz�v� hustota pravd�podobnosti. Pro� zrovna hustota pravd�podobnosti? V�znam |Y|² si p�ibl��me pomoc� n�sleduj�c�ho p��kladu.

Hustota t�lesa r je veli�ina, kter� charakterizuje rozlo�en� hmotnosti v t�lese. V okol� m�st s v�t�� hustotou je soust�ed�na v�t�� hmotnost ne� v okol� m�st s malou hustotou. Hmotnost m_DV   mal�ho objemu t�lesa DV   v okol� dan�ho bodu A je rovna
 

mDV  = r(A) DV,

(8.1)

kde r(A) ozna�uje hustotu t�lesa v bod� A.

Tak� |Y|² vyjad�uje rozlo�en� jist� veli�iny - pravd�podobnosti. |Y|² se proto naz�v� hustotou pravd�podobnosti. Pokud n�s zaj�m� pravd�podobnost P nalezen� mikroobjektu v �ase t v mal�m objemu DV v okol� bodu se sou�adnicemi x, y, z, pak P_DV   je d�na (obdobn� jako v (8.1))
 

PDV   = |Y(x,y,z,t)|2DV ,

(8.2)

kde |Y (x,y,z,t)|² znamen� hodnotu hustoty pravd�podobnosti v bod� o sou�adnici x, y, z v �ase t.

Ur�ov�n�m vlnov�ch funkc� p��slu�ej�c�ch mikroobjekt�m nach�zej�c�m se v silov�m poli (nap�. elektrostatick�m,�) se zab�v� pr�v� kvantov� mechanika. Vlnov� funkce jsou �e�en�m tzv. Schr�dingerovy rovnice - z�kladn� rovnice kvantov� mechaniky, kterou v roce 1926 formuloval E. Schr�dinger. Tato rovnice m� pro kvantovou mechaniku obdobn� v�znam jako II. Newton�v z�kon pro mechaniku klasickou.

V Newtonov� mechanice je stav objektu jednozna�n� ur�en zad�n�m jeho polohy a hybnosti v ur�it�m �asov�m okam�iku. Informaci o dal��m �asov�m v�voji tohoto objektu (mohou na n�j p�sobit vn�j�� s�ly) z�sk�me �e�en�m Newtonov�ch pohybov�ch rovnic. T�mto zp�sobem m��eme zjistit mechanick� stav studovan�ho objektu v libovoln�m �asov�m okam�iku. V kvantov� mechanice je stav mikroobjektu jednozna�n� ur�en zad�n�m jeho vlnov� funkce v dan�m �asov�m okam�iku. Vlnov� funkce je tedy n�co, co nese ve�kerou informaci o mechanick�m stavu mikroobjektu. Dal�� �asov� v�voj mikroobjektu (m��e se nach�zet ve vn�j��m silov�m poli) pak z�sk�me �e�en�m Schr�dingerovy rovnice pro tento mikroobjekt.

Je t�eba upozornit, �e vlnov� funkce jsou v obecn�m p��pad� funkcemi komplexn�mi, s nenulovou re�lnou i imagin�rn� ��st�. Takovou funkci lze napsat ve tvaru
 

Y = f + ig,

(8.3)

kde i je komplexn� jednotka (i = �(-1)) a f, g jsou re�ln� funkce. Kvadr�t absolutn� hodnoty |Y|² je d�n sou�inem Y*.Y funkce Y a funkce komplexn� sdru�en� Y*. Y* je d�na
 

Y* = f - ig.

(8.4)

Hustota pravd�podobnosti je pak rovna
 

|Y|2 = Y*.Y = (f - ig) (f + ig) = f2 - i2 g2 = f2 + g2.

(8.5)

I p�es komplexn� charakter vlnov� funkce Y je hustota pravd�podobnosti |Y|² v�dy kladnou veli�inou (co� je nezbytn� pro jej� pravd�podobnostn� interpretaci).
 
 

• �lohy

1. Vypo��tejte kvadr�t absolutn� hodnoty komplexn�ch ��sel: a = 3i, a = 5 + i, a = 3 - 4i.
   [a) |a|² = 9, b) |a|² = 26, c) |a|² = 25]


2. Vlnov� funkce voln�ho mikroobjektu pohybuj�c�ho se po p��mce dan� osou x v jej�m kladn�m sm�ru s hybnost� p je d�na v�razem: Y(x,t) = A.{ cos [2p/h.(px - Et)] + i. sin [2p/h.(px - Et)]}, kde A je konstanta, h Planckova konstanta a E energie tohoto mikroobjektu (jedn� se v podstat� o v�m zn�mou rovinnou vlnu, je� je v�ak zobecn�na do tvaru komplexn� funkce). Vypo��tejte hustotu pravd�podobnosti |Y(x,t)|² nalezen� mikroobjektu v bod� x v �ase t.
   [|Y(x,t)|² = A²]

P�i tvorb� t�to kapitoly jsem se setk�val s �adou ot�zek souvisej�c�ch s v�b�rem vstupn�ch �daj� (pojm�, p�edstav) i s �adou ot�zek p�enosu odpov�daj�c�ho v�kladu z vysoko�kolsk�ho kursu kvantov� mechaniky. Startovn� ��ru v pln�m �e�en� t�chto probl�m� vid�m v samotn�m vysoko�kolsk�m kursu kvantov� mechaniky. Proto jsem se v z�v�re�n� (t�et�) kapitole takov� mo�n� n�vrh pokusil podat.