Chování hmotných objektů, jsme dříve popisovali pomocí Newtonovy mechaniky. V mikrosvětě se však u nich projevují kromě částicových vlastností i vlastnosti vlnové. Jakým způsobem tedy správně (v souladu s výsledky experimentů) popsat chování mikroobjektů?

Newtonova mechanika je teorií, která byla vytvořena pro popis hmotných objektů světa naší smyslové zkušenosti. Pro mnoho jevů jsou její výsledky v plném souladu s realitou. Ukázali jsme, že ne všechny jevy lze Newtonovou mechanikou úspěšně vysvětlit. S jednou takovou oblastí jevů jsme se setkali při probírání speciální teorie relativity. Pro popis chování částic při rychlostech blízkých rychlosti světla ve vakuu je nutné použít speciální teorii relativity, neboť výsledky Newtonovy mechaniky se zde s realitou rozcházejí. To však v žádném případě neznamená, že by Newtonova mechanika byla špatnou teorií! Pouze jsme nalezli podmínky, které omezují její použitelnost na popis jevů, při kterých se tělesa pohybují s rychlostí v<< c. Do podobné situace se dostáváme při snaze popsat chování mikroobjektů. Vlastnosti mikroobjektů se podstatně odlišují od vlastností objektů makrosvěta. Objevili jsme nové další omezení platnosti Newtonovy mechaniky. Bude proto potřeba vytvořit teorii, která lépe popíše vlastnosti hmotných objektů v mikrosvětě. Touto teorií se stala kvantová mechanika.

Kvantová mechanika popisuje chování mikroobjektů (jako jsou elektrony, protony, atomy,…).

Ervin Schrodinger
(1887-1961)

De Broglieho hypotézu zobecnil rakouský fyzik Erwin SCHRÖDINGER, který každému mikroobjektu přiřadil tzv. vlnovou funkci Y. De Broglieho vlna je speciálním případem vlnové funkce; je to vlnová funkce přiřazená volnému mikroobjektu s určitou hybností p.
 
 

Fyzikální interpretace významu vlnové funkce:

Nechť vlnová funkce Y je přiřazena danému mikroobjektu. Hodnota vlnové funkce Y(x,y,z,t) v bodě o souřadnicích x, y, z v čase t souvisí s pravděpodobností výskytu daného mikroobjektu v tomto bodě a čase. Y sama o sobě však nemá žádný přímý fyzikální význam. Existuje jednoduchý důvod, proč nelze Y přímo experimentálně naměřit. Pravděpodobnost P, že mikroobjekt bude nalezen v nějakém místě v daném čase, může nabývat jakékoliv hodnoty mezi dvěma hraničními případy: nulou, jež odpovídá jisté nepřítomnosti, a jedničkou, odpovídající naprosto jisté přítomnosti mikroobjektu (například pravděpodobnost 0,2 znamená dvacetiprocentní naději, že mikroobjekt bude v daném místě a čase nalezen). Avšak výchylka každé vlny může být kladná i záporná, ale záporná pravděpodobnost nemá smysl. Tato námitka se ovšem netýká veličiny |Y|², čtverce absolutní hodnoty vlnové funkce, neboť ta nabývá pouze nezáporných hodnot²².

V roce 1926 navrhl německý fyzik Max BORN použít hodnoty |Y|² jako míry pravděpodobnosti výskytu mikroobjektu v daném místě a čase.

Je-li mikroobjekt popsán vlnovou funkcí Y(x,y,z,t),  pak pravděpodobnost jeho nalezení v okolí bodu x, y, z v čase t je úměrná hodnotě |Y(x,y,z,t)|2 v tomto místě a v tomto čase.

MaxBorn
(1882-1970)

Velká hodnota |Y(x,y,z,t)|² znamená vysokou míru možnosti výskytu mikroobjektu v okolí bodu x, y, z v čase t, kdežto malá hodnota |Y(x,y,z,t)|² znamená naopak malou naději jeho nalezení v okolí bodu x, y, z v čase t. Jakmile však již |Y(x,y,x,t)|² někde není přesně rovna nule, existuje jistá naděje, třeba i malá, že v daném místě mikroobjekt nalezneme.

|Y|² se nazývá hustota pravděpodobnosti. Proč zrovna hustota pravděpodobnosti? Význam |Y|² si přiblížíme pomocí následujícího příkladu.

Hustota tělesa r je veličina, která charakterizuje rozložení hmotnosti v tělese. V okolí míst s větší hustotou je soustředěna větší hmotnost než v okolí míst s malou hustotou. Hmotnost m_DV   malého objemu tělesa DV   v okolí daného bodu A je rovna
 

mDV  = r(A) DV,

(8.1)

kde r(A) označuje hustotu tělesa v bodě A.

Také |Y|² vyjadřuje rozložení jisté veličiny - pravděpodobnosti. |Y|² se proto nazývá hustotou pravděpodobnosti. Pokud nás zajímá pravděpodobnost P nalezení mikroobjektu v čase t v malém objemu DV v okolí bodu se souřadnicemi x, y, z, pak P_DV   je dána (obdobně jako v (8.1))
 

PDV   = |Y(x,y,z,t)|2DV ,

(8.2)

kde |Y (x,y,z,t)|² znamená hodnotu hustoty pravděpodobnosti v bodě o souřadnici x, y, z v čase t.

Určováním vlnových funkcí příslušejících mikroobjektům nacházejícím se v silovém poli (např. elektrostatickém,…) se zabývá právě kvantová mechanika. Vlnové funkce jsou řešením tzv. Schrödingerovy rovnice - základní rovnice kvantové mechaniky, kterou v roce 1926 formuloval E. Schrödinger. Tato rovnice má pro kvantovou mechaniku obdobný význam jako II. Newtonův zákon pro mechaniku klasickou.

V Newtonově mechanice je stav objektu jednoznačně určen zadáním jeho polohy a hybnosti v určitém časovém okamžiku. Informaci o dalším časovém vývoji tohoto objektu (mohou na něj působit vnější síly) získáme řešením Newtonových pohybových rovnic. Tímto způsobem můžeme zjistit mechanický stav studovaného objektu v libovolném časovém okamžiku. V kvantové mechanice je stav mikroobjektu jednoznačně určen zadáním jeho vlnové funkce v daném časovém okamžiku. Vlnová funkce je tedy něco, co nese veškerou informaci o mechanickém stavu mikroobjektu. Další časový vývoj mikroobjektu (může se nacházet ve vnějším silovém poli) pak získáme řešením Schrödingerovy rovnice pro tento mikroobjekt.

Je třeba upozornit, že vlnové funkce jsou v obecném případě funkcemi komplexními, s nenulovou reálnou i imaginární částí. Takovou funkci lze napsat ve tvaru
 

Y = f + ig,

(8.3)

kde i je komplexní jednotka (i = Ö(-1)) a f, g jsou reálné funkce. Kvadrát absolutní hodnoty |Y|² je dán součinem Y*.Y funkce Y a funkce komplexně sdružené Y*. Y* je dána
 

Y* = f - ig.

(8.4)

Hustota pravděpodobnosti je pak rovna
 

|Y|2 = Y*.Y = (f - ig) (f + ig) = f2 - i2 g2 = f2 + g2.

(8.5)

I přes komplexní charakter vlnové funkce Y je hustota pravděpodobnosti |Y|² vždy kladnou veličinou (což je nezbytné pro její pravděpodobnostní interpretaci).
 
 

• Úlohy

1. Vypočítejte kvadrát absolutní hodnoty komplexních čísel: a = 3i, a = 5 + i, a = 3 - 4i.
   [a) |a|² = 9, b) |a|² = 26, c) |a|² = 25]


2. Vlnová funkce volného mikroobjektu pohybujícího se po přímce dané osou x v jejím kladném směru s hybností p je dána výrazem: Y(x,t) = A.{ cos [2p/h.(px - Et)] + i. sin [2p/h.(px - Et)]}, kde A je konstanta, h Planckova konstanta a E energie tohoto mikroobjektu (jedná se v podstatě o vám známou rovinnou vlnu, jež je však zobecněna do tvaru komplexní funkce). Vypočítejte hustotu pravděpodobnosti |Y(x,t)|² nalezení mikroobjektu v bodě x v čase t.
   [|Y(x,t)|² = A²]

Při tvorbě této kapitoly jsem se setkával s řadou otázek souvisejících s výběrem vstupních údajů (pojmů, představ) i s řadou otázek přenosu odpovídajícího výkladu z vysokoškolského kursu kvantové mechaniky. Startovní čáru v plném řešení těchto problémů vidím v samotném vysokoškolském kursu kvantové mechaniky. Proto jsem se v závěrečné (třetí) kapitole takový možný návrh pokusil podat.