Rotační energie a okamžitá rychlost na vozíčkové dráze

Vojtěch Stach, Michal Šerý

V tomto příspěvku si chceme všimnout vlivu rotační energie na rychlost pohybu vo­zíku na vozíčkové dráze. Nezbytnou roli přitom hraje úloha matematiky. Jak je to s matematikou při výuce fyziky dnes?

a)    Matematika se zejména využívá při řešení fyzikálních úloh.

b)   Matematika se užívá při laboratorních úlohách a ve fyzikálním praktiku.

c)    Málo se využívá matematiky při řešení problémových úloh spojených s expe­rimentem.

Zejména tato třetí možnost je při dnešní výuce na střední škole málo využívána. Argument, že experiment a příslušné matematické operace zaberou hodně času, je relativní, protože se při takto pojaté výuce probere a procvičí problematika zkouma­ného jevu mnohem kvalitněji než provedením pouhého experimentu a nebo pouhé­ho výpočtu. Pro ilustraci zde provedeme následující úlohu.

Po vodorovné dráze se pohybuje vozík (obr. 1), který se skládá z kolečka hmotnosti m2 a tělesa hmotnosti m1, které je na něm zavěšeno. Celková hmotnost vozíku je te­dy . Vozík je tažen přes kladku hmotnosti m2 závažím hmotnosti m.

1)   Uvolníme-li vozík v určité poloze, bude se pohybovat rovnoměrně zrychleně a po ujetí dráhy h nabude rychlosti v1.

2)   Na vozík přidáme těleso hmotnosti M, takže celková hmotnost vozíku je . Hmotnost závaží na závěsu zvětšíme na . Po projetí dráhy h bude mít vozík rychlost v2.

obr. 1: Po vodorovné dráze se pohybuje vozík s proměnnou hmotností

Určete: Rychlosti v případech 1) a 2) porovnejte a případnou odchylku zdůvodněte.

Poznámka: Hmotnost závěsu zanedbáváme a pro kolečka předpokládáme moment se­trvačnosti  Ve skutečnosti má vozík dvě kolečka, která zde pro jedno­dušší výpočet neuvažujeme.

Řešení:

Vyjádříme pro případ 1) zákon zachování energie (tření neuvažujeme):

                                 potenciální energie, uvolněná při pohybu závaží,

       kinetická translační energie závaží o hmotnosti m a vozíčku o hmotnosti ,

  rotační energie koleček, kde  a .

Platí zákon zachování energie

      

a odtud

                                                     .

V případě 2) při použití zákona zachování energie stačí uvážit, že m se změní na  a M se změní . Pro rychlost v2 pak dostaneme vztah

                                      .

Srovnáme-li výrazy pro  a  dostaneme .

obr. 2: Fotografie vozíčkové soupravy s měřičem rychlosti

Rychlosti v1 a v2 se od sebe liší, protože jsme v případě 2) změnili hmotnost vozíku tak, jakoby hmotnosti m1 a m2 vykonávaly jen pohyby translační. Pokud by momen­ty setrvačnosti koleček byly nulové, rychlosti by se v obou případech rovnaly. Tuto skutečnost lze velmi snadno experimentálně ukázat na vozíčkové soupravě firmy Leybold pomocí elektronických stopek, nebo pomocí měřiče okamžité rychlosti vy­vinutého na katedře fyziky Pedagogické fakulty JU, který je jednoduše připojen k počítači PC (obr. 2.).

Orientační měření z tohoto experimentu je uvedeno v následující tabulce.

Protokol o měření
 

v1 []

v2 []

č. m.

1

2

3

1

2

3

1

1,097

1,081

1,089

1,114

1,114

1,114

2

1,089

1,089

1,081

1,114

1,114

1,114

3

1,097

1,081

1,089

1,114

1,114

1,114

4

1,089

1,089

1,089

1,114

1,114

1,122

5

1,081

1,089

1,081

1,122

1,114

1,114

6

1,089

1,081

1,081

1,114

1,114

1,114

7

1,081

1,089

1,089

1,114

1,114

1,114

8

1,081

1,089

1,081

1,114

1,114

1,114

9

1,081

1,081

1,089

1,114

1,114

1,122

10

1,081

1,089

1,089

1,114

1,114

1,114

Průměr

1,086

1,086

1,086

1,114

1,114

1,115

Průměr

  

1,086

    

1,114

  

Literatura

1.    Kašpar, E.: Didaktika fyziky, obecné otázky, SPN, Praha 1987

2.    Stach, V.: Vývoj a úloha demonstračního experimentu ve vyučování fyzice, sborník ze semináře s mezinárodní účastí, Č. Budějovice 1995