Školský pokus jako rekonstrukce fyzikálního historického experimentu

Milena Kušnerová

Vysvětlení podstaty jevů souboru pokusů

„Velmi zajímavý a zvláštní případ rezonance můžete pozorovat, zhotovíte-li si ná­sledující zařízení. Natáhněte vodorovně nit a zavěste na ni tři kyvadla, z nichž dvě jsou kratší, avšak stejně dlouhá, a jedno delší. Nyní vychylte a pusťte jedno z krát­kých kyvadel. Po několika sekundách uvidíte, jak druhé stejně dlouhé kyvadlo zač­ne kmitat. Jeho amplituda se stále zvětšuje, takže za chvíli již není možno poznat, které z kyvadel začalo pohyb jako prvé. Oč zde jde? Kyvadla stejné délky mají stej­nou periodu vlastních kmitů, prvé kyvadlo tedy rozkmitá druhé a posléze se kmity přenášejí od jednoho kyvadla na druhé nití, která je spojuje. Na niti ovšem visí ještě jedno kyvadlo odlišné délky. Co se s ním bude dít? S tímto kyvadlem se nestane nic, jeho perioda je jiná, a proto je kratší kyvadlo nerozkmitá. Třetí kyvadlo se podílí na „přelévání“ energie z jednoho kyvadla na druhé, ale samotného pohybu se vůbec nezúčastní.“ [1]

Když si pokus v duchu uvedené citace skutečně provedeme (tyč upevněnou ve vo­dorovné poloze a tři závažíčka na provázcích si může doma improvizovat každé malé děcko), zjistíme, že se i se třetím kyvadlem cosi děje. A právě o ono „cosi“ je pokus ještě zajímavější a zvláštnější.

Legendární autoři byli totiž natolik zacíleni na pozorování rezonančního jevu (či vý­stižněji jeho „nastartování“), kdy je u dvou matematických kyvadel srovnatelných, popř. dokonce stejných vlastních úhlových frekvencí rezonance přesvědčivě pozoro­vatelná, že kmity třetího spřaženého (vázaného) kyvadla s výrazně odlišnou vlastní úhlovou frekvencí možná podcenili fyzikálně – neúmyslně (přesně důsledný recept na uspořádání experimentu totiž chybí), možná přehlédli metodicky – záměrně, roz­hodně však jevově zanedbali. Proč je nechceme zanedbat my?

Spřažené (vázané) kmity jsou důležitým mostem pro pochopení souvislostí mezi je­vy kmitání a vlnění. Existují historické pokusy, které můžeme právem nazvat mosty spojujícími původně odděleně se vyvíjející obory fyziky. Např. Öerstedův pokus ja­ko významný mezník společného výzkumu elektrického a magnetického pole atd… Čí jméno nese asi zrovna náš pokus se spřaženými (vázanými) oscilátory není zřej­mě tak jednoznačné, nicméně nahlédnout do dějin fyziky a zmínit se o tom svým žá­kům (studentům), lze pokládat za užitečný moment, zpestřující a obohacující běž­nou výuku. S nejvyšší pravděpodobností jméno Newtonovo, tedy alespoň podle mé­ho názoru. „Newtonova metóda spočívala v tom, že zovšeobecnením experimen­tálnych faktov dospel k malému počtu postulátov alebo axióm, ako ich sám nazýval. Z nich mali deduktívne vyplynúť všetky fyzikálne zákony…“ [2]

Zákon zachování celkové mechanické energie studoval ve svých Rozpravách sice už Galilei, a to pomocí kmitů matematického kyvadla, nicméně až Newton ve své dru­hé knize Matematických principií přírodní filozofie zákony pohybu matematického kyvadla zpřesnil, nu a ve své třetí knize jako první řešil a formuloval zákon akce a reakce (na rozdíl např. od Hooka nejen experimentálně, ale i matematicky), takže bylo možné přejít od dynamiky jediného tělesa k dynamice soustavy těles. Bez po­chopení podstaty vzájemného silového působení a zákona zachování hybnosti a zá­kona zachování energie (od translačního přes rotační až po kmitavý pohyb) není cesty k pochopení buzených (vynucených) kmitů a poté i k pochopení jejich speciál­ního případu rezonance. Kde je problém? S tvrzením, že Newtonovo jablko, padajíc volným pádem, je přitahováno k Zemi, souhlasí všichni žáci (studenti), avšak s tvr­zením, že i jablko přitahuje Zemi, souhlasí poněkud rozpačitě. Odpoví nám, že moc pěkné jablko může mít sice i čtvrt kila, ale zeměkoule má cca . Tak jaké­pak vzájemné silové působení? Podobné dilema nastává i v našem diskutovaném případě, kdy při výkladu vynucených (buzených) kmitů ovlivňování původního os­cilátoru rezonátorem a zpětný přenos (přelévání) energie na něj jaksi apriori ne­uvažujeme:

„Těleso nebo soustavu schopnou kmitání lze rozkmitat i jinak. Postaráme-li se o to, aby část energie soustavy, která již kmitá a kterou již nazýváme oscilátor, přecházela na jinou soustavu, která je však dosud v klidu a kterou nazýváme rezonátor, roz­kmitá se i rezonátor. Kmity, které vzniknou tímto způsobem, nazýváme nucené. Způsob, jak je proveden přenos energie z oscilátoru na rezonátor, se nazývá vazba obou soustav. Nucené kmity hmotného bodu (tělesa) vznikají tedy, působí-li na těle­so kromě elastické nebo kvazielastické síly a odporů časově proměnná síla… Půso­bením periodické síly vznikají harmonické nucené kmity téže frekvence W (jako má budící oscilátor). Amplituda nucených kmitů je přímo úměrná amplitudě budící síly a nepřímo úměrná frekvenci oscilátoru. Je tím větší, čím menší je rozdíl mezi frek­vencí budící síly a vlastní frekvencí oscilátoru a čím menší je útlum. Časové rozvinu­tí nucených kmitů v ustáleném stavu je tedy sinusovka s amplitudou nucených kmi­tů A_v, s úhlovou frekvencí W a fázovým posunutím F.“ [3]

                               ; ,

kde    a......... zrychlení vnější, kmity budící síly
w........ vlastní úhlová frekvence rezonátoru
W........ úhlová frekvence budícího oscilátoru
d......... koeficient tlumení

Co tedy od třetího matematického kyvadla spřažené soustavy vlastně očekáváme? Extrémy. Buď nic, protože nesplňuje podmínky rezonance (především délka jeho zá­věsu je odlišná od délek rezonujících kyvadel), anebo kmity vynucené, poslušně ko­pírující kmity budícího oscilátoru v sinusovce. A co skutečně pozorujeme? Ani jed­no, ani druhé. Třetí oscilátor sice kmitá, ale jakoby „v rázech“, jeho amplituda pul­suje v čase. Názorněji spřáhneme pouze dvě matematická kyvadla výrazně odliš­ných délek, zatížených závažími stejné hmotnosti. Budící oscilátor si kmitá harmo­nicky jakoby sám pro sebe, rezonátor rezonuje jakoby „jednostranně“. Proč?

Diskusí na téma vynucené kmity existuje v odborné literatuře poměrně dost. Ale jak z nich nastudovat a vydedukovat jev naší „částečné“ rezonance? Stručně:

·      Je-li frekvence budící síly v porovnání s vlastní frekvencí kmitů soustavy malá, amplituda nucených kmitů se přibližně rovná tzv. statické výchylce

                                                       .

·      Je-li frekvence budící síly v porovnání s vlastní frekvencí kmitů soustavy velká, amplitudy nucených kmitů budou malé.

Poměr maximální amplitudy nucených kmitů (ke které dochází právě při rezonanci, při srovnatelné hodnotě obou úhlových frekvencí) k statické výchylce je výhradní záležitostí tlumení soustavy (tj. útlumu, tzv. dekrementu útlumu).

A jak je to s fází nucených kmitů?

·      Je-li úhlová frekvence budících kmitů dostatečně malá v porovnání s vlastní frek­vencí kmitů, fáze nucených kmitů se téměř shoduje s fází budící síly.

·      Je-li úhlová frekvence budících kmitů dostatečně velká v porovnání s vlastní frek­vencí kmitů, fáze nucených kmitů je téměř opačná k fázi budící síly.

·      Pokud si jsou obě frekvence rovny, anebo jsou alespoň velmi blízké, je fáze nuce­ných kmitů o  zpožděna za fází budící síly.

Jinými slovy: odpověď jsme v teorii buzených kmitů nenašli. Ať je fázový posun ta­kový či onaký a amplitudy buzených kmitů relativně malé nebo relativně velké,, rozhodně však nepulsují v čase. Jedině při hledání odpovědi v praxi, v experimen­tální činnosti, můžeme být úspěšnější. Zjistíme totiž, že se vznik a počet rázů u spřa­žených oscilátorů dá ovlivňovat těsností vazby. U vázaných oscilátorů vznikají zá­zněje tedy nikoliv „rozladěním“, ale vazbou, a to nejčetnější rázy vazbou co nejtěs­nější! Vazba hraje u spřažených oscilátorů velmi důležitou roli!

Feynman si s podobnou otázkou matematické vize, která se na složitou fyzikální realitu nedá jednoznačně „napasovat“, poradil velice lakonicky: „Ak nastavíme W tak, aby sa presne rovnalo w, tak amplitúda oscilátora by mala byť nekonečná, čo je nemožné. Príčinou je, že naša rovnica vtedy prestane platit. Prejavia sa dodatočné členy, ktoré zodpovedajú treniu a ďalším silám, ktoré nie sú v rovnici, ale ktoré sa vyskytujú v reálnom svete. Preto sa amplitúda nezväčší z nejakého dôvodu do ne­konečna. Napríklad preto, že sa pružina roztrhne!“ [6]

Nezastupitelnou úlohou učitele fyziky budiž tedy přistupovat k jednotlivým problé­mům konkrétní didaktiky fyziky s nadhledem, učit žáky (studenty) nejen fyzikálním vědomostem a dovednostem, ale především fyzikálnímu myšlení a inspirovat je k čin­nostem tvůrčího (ve školských podmínkách výstižněji řečeno hravého) charakteru.

Potřeby, příprava a provedení souboru pokusů

Pokus č. 1: Na vodorovnou tyč (kovovou, dřevěnou) zavěsíme vedle sebe do nepříliš velké vzdálenosti dvě matematická kyvadla, tj. dvě závažíčka (kovové kuličky) ne­stejné hmotnosti na niti nestejné délky. Kyvadlo na delším závěsu vychýlíme a roz­kmitáme kolmo k původní rovině závěsů. Pozorujeme, zda a jak se rozkmitá i druhý oscilátor. Poté pokus opakujeme s obměnami: vychýlíme kyvadlo na kratším závě­su…, závaží druhého oscilátoru vyměníme za závaží o stejné hmotnosti a opaku­jeme obě varianty předchozího provedení…, závěs druhého oscilátoru vyměníme za závěs stejné délky a opakujeme opět vychýlení a rozkmitání jednoho z oscilátorů…

Pokus č. 2: Na vodorovnou tyč (kovovou, dřevěnou) zavěsíme vedle sebe do nepříliš velké vzdálenosti dvě matematická kyvadla, tj. dvě závažíčka (tyčové magnety obrá­cené stejnými póly k sobě) nestejné hmotnosti na bifilární kovové závěsy nestejné délky. Kyvadlo na delším závěsu vychýlíme a rozkmitáme kolmo k původní rovině závěsů. Pozorujeme, zda a jak se rozkmitá i druhý oscilátor. Poté pokus opakujeme s obměnami: vychýlíme kyvadlo na kratším závěsu…, závaží druhého oscilátoru vy­měníme za závaží o stejné hmotnosti a opakujeme obě varianty předchozího prove­dení…, závěs druhého oscilátoru vyměníme za závěs stejné délky a opakujeme opět vychýlení a rozkmitání jednoho z oscilátorů…

Pokus č. 3: Na vodorovnou tyč (kovovou, dřevěnou) zavěsíme vedle sebe do nepříliš velké vzdálenosti dvě matematická kyvadla, tj. dvě závažíčka (kovové kuličky) ne­stejné hmotnosti na niti nestejné délky. Niti spojíme v místech o stejné vzdálenosti od vodorovné tyče pružinkou. Kyvadlo na delším závěsu vychýlíme a rozkmitáme kolmo k původní rovině závěsů. Pozorujeme, zda a jak se rozkmitá i druhý oscilá­tor. Poté pokus opakujeme s obměnami: vychýlíme kyvadlo na kratším závěsu…, závaží druhého oscilátoru vyměníme za závaží o stejné hmotnosti a opakujeme obě varianty předchozího provedení…, závěs druhého oscilátoru vyměníme za závěs stejné délky a opakujeme opět vychýlení a rozkmitání jednoho z oscilátorů…

Pokus č. 4: Na vodorovnou tyč (kovovou, dřevěnou) zavěsíme vedle sebe do nepříliš velké vzdálenosti dvě matematická kyvadla, tj. dvě závažíčka (kovové kuličky) ne­stejné hmotnosti na niti nestejné délky. Niti spojíme v místech o stejné vzdálenosti od vodorovné tyče nití, na kterou zavěsíme závažíčko o relativně menší hmotnosti (jde vpodstatě o třetí oscilátor soustavy). Kyvadlo na delším závěsu vychýlíme a roz­kmitáme kolmo k původní rovině závěsů. Pozorujeme, zda a jak se rozkmitá i druhý oscilátor. Poté pokus opakujeme s obměnami: vychýlíme kyvadlo na kratším závě­su…, závaží druhého oscilátoru vyměníme za závaží o stejné hmotnosti a opaku­jeme obě varianty předchozího provedení…, závěs druhého oscilátoru vyměníme za závěs stejné délky a opakujeme opět vychýlení a rozkmitání jednoho z oscilátorů…

Pokus č. 5: Na vodorovnou tyč (kovovou, dřevěnou) zavěsíme vedle sebe do nepříliš velké vzdálenosti dvě matematická kyvadla, tj. dvě závažíčka (kovové kuličky) ne­stejné hmotnosti na niti nestejné délky. Niti spojíme v místech o stejné vzdálenosti od vodorovné tyče napnutou nití. Kyvadlo na delším závěsu vychýlíme a rozkmitá­me kolmo k původní rovině závěsů. Pozorujeme, zda a jak se rozkmitá i druhý osci­látor. Poté pokus opakujeme s obměnami: vychýlíme kyvadlo na kratším závěsu…, závaží druhého oscilátoru vyměníme za závaží o stejné hmotnosti a opakujeme obě varianty předchozího provedení…, závěs druhého oscilátoru vyměníme za závěs stejné délky a opakujeme opět vychýlení a rozkmitání jednoho z oscilátorů…

Pokus č. 6: V návaznosti na pokus č. 5: „...místo příčné niti uvážeme slabou dřevěnou tyčinku (špejli). Pod kyvadla položíme arch papíru, na který nakreslíme dva čtverce (viz obr.) umístěné tak, aby kyvadla směřovala do jejich středů.

1. Rozkýváme kyvadlo 1 vychýlením do bodu a. Kýve nejprve po úhlopříčce a kyvadlo 2 se uvádí pozvolna do kývání ve směru I. Kyvadlo 1 přechází při dalším kývání elipsovitým pohybem do kývání ve směru II. a kyvadlo 2 nabude nejdelších kyvů ve směru I. Nato se kyvadlo 1 vrací zase zpět do kývání po úhlopříčce a kyvadlo 2 kyvy zkracuje, až se úplně zastaví. Děj se pak stále opakuje.

2. Obě kyvadla vychýlíme do bodu b a současně je pustíme. Kývají nejprve po úhlopříčkách, pak přecházejí do kývání v úzkých elipsách, které se stále rozšiřují. Přejdou pak do kruhů, které se mění zase v elipsy, načež nastane kývání zase po úhlopříčkách, ale kolmých k předešlým. Děj se pak obrátí a dále několikrát opakuje.“ [4]

Pokus č. 7: Na vodorovnou tyč (kovovou, dřevěnou) zavěsíme vedle sebe do stejných, nepříliš velkých vzdáleností tři matematická kyvadla, tj. tři závažíčka (kovové kulič­ky) nestejné hmotnosti na niti nestejné délky. Kyvadlo na nejdelším závěsu vychýlí­me a rozkmitáme kolmo k původní rovině závěsů. Pozorujeme, zda a jak se rozkmi­tají i druhý a třetí oscilátor. Pokus opakujeme s obměnami rozkmitání kratšího… a poté i nejkratšího oscilátoru… Ve variantách experimentu můžeme pokračovat tak, že dva ze tří nestejně dlouhých oscilátorů mají stejnou hmotnost…, že všechny tři nestejně dlouhé oscilátory mají stejnou hmotnost…, dále že dva ze tří oscilátorů mají stejnou délku závěsu, avšak různé hmotnosti závaží…, dvě stejné hmotnosti zá­važí…, stejné hmotnosti závaží… Konečně pak pro případ stejné délky závěsů u všech tří oscilátorů volíme postupně možnosti závaží různých hmotností…, dvou stejných hmotností…, hmotností stejných. Jako vazbu mezi oscilátory použijeme např. napnutou nit (viz. uspořádání pokusu č. 5).

Poznámka: S ohledem na potřebu posilování mezipředmětových vztahů využijeme znalosti kombinatoriky, je-li ovšem výuka matematiky a fyziky na dané SŠ časově v souladu.

Pokus č. 8: „Ve starších kabinetech se vyskytoval hotový přístroj, který obsahuje ky­vadla různých délek, kyvadlo složené, u něhož je několik kuliček upevněno na tém­že závěsu v různých vzdálenostech od místa závěsu, a kyvadlo fyzické. Složeným kyvadlem se demonstruje vzájemné ovlivňování částic tělesa: Částice bližší ose by samy o sobě jako matematická kyvadla kývala s kratší dobou kyvu než částice vzdá­lenější. Doba kyvu fyzického kyvadla je rovna době kyvu některé částice na svislé těžnici, která by kývala jako matematické kyvadlo se stejnou dobou kyvu. Vzdále­nost této částice od osy fyzického kyvadla je rovna redukované délce fyzického kyvadla.“ [5]

Pokus se složeným kyvadlem srovnáme s předcho­zími experimenty, (nicméně ve všech případech jde o kmitání vázaných soustav, soustav s více stupni volnosti, a to s tolika stupni volnosti, kolik těles v soustavě kmitá).

Poznámka: Abychom uspořili čas při přípravě expe­rimentů, můžeme si vyrobit universální závěs, kde jsou na každém např. ze tří spřažených kyvadel délky L smyčky pro zavěšování závaží ve vzdále­nosti ,  a L od vodorovné tyče. Do smyček můžeme zavěšovat závažíčka s háčky v počtu např. 1 ks, 2 ks, 3 ks podle momentální potřeby té které demonstrace (viz obr.).

Využití ve výuce

Na ZŠ (v současné 9. třídě jako rozšiřující učivo, lze doporučit pouze k předvedení některých pokusů souboru za účelem motivace ke studiu základů fyziky, ev. lze zařadit v zájmovém fyzikálním kroužku zadáním za domácí experimentální samo­studium a uzavřením diskusí s ohledem na věkové zvláštnosti dětí).

Na SŠ (v současných SŠ značně diferencovaná výuka fyziky, lze doporučit k předve­dení všech pokusů souboru za účelem názorného objasnění výkladu třetího Newto­nova zákona akce a reakce, zákona zachování celkové mechanické energie izolované soustavy, zákona zachování hybnosti, vazby mechanické, vazby magnetickým po­lem, vazby volné a těsné, spřažených (vázaných) kmitů tlumených, jevu nucených (buzených) kmitů, jevu rezonančního a při větším počtu vázaných oscilátorů i jevu vlnění).

Na VŠ (především v přípravě budoucích učitelů fyziky, a to v rámci praktika škol­ních pokusů, lze doporučit i v rámci obecné fyziky k předvedení některých pokusů jako doprovodných k matematickému (a to analytickému i grafickému) popisu kmi­tů buzených a jevu rezonance).

Literatura

1.    Landau, L., D., Kitajgorodskij, A., I.: Fyzika pro každého. Horizont, Praha 1975

2.    Zajac, R., Šebesta, J.: Historické pramene súčasnej fyziky 1., Od Aristotela po Boltzmanna,. Alfa, Bratislava 1990

3.    Hlavička, A. a kol.: Fyzika pro pedagogické fakulty. SPN, Praha 1971

4.    Halada, V.: Fysika v pokusech, Mladá fronta, Praha 1952

5.    Kašpar, E., Vachek, J.: Pokusy z fyziky na středních školách, 1. díl, SPN, Praha 1967

6.    Feynman, R., P., Leighton, R., B., Sands, M.: Feynmanove prednášky z fyziky, Alfa, Bratislava 1980