Oscilátor se slanou vodou: ukázka oscilací s rostoucí amplitudou

Z. Kluiber, Hudec, Němec

Zadání úlohy: nádobka s malým otvorem ve dně obsahující slanou vodu je částečně ponořena do velké nádoby s čistou vodou a upevněna. Vysvětlete pozorovaný periodický děj.

Potřeby: nádoba kvádrového tvaru (objem větší než 1 l), do níž lze vpasovat plastový kelímek (objem cca 0,2 l), jehla (o tloušťce do 1 mm), nit, barvivo pro odlišení roztoků (např. manganistan draselný), sůl, voda.

Provedení: nejprve prorazíme jehlou ve dně kelímku otvor. Takto upravený kelímek upevníme do kádinky. Připravíme si roztok soli a obarvíme jej (místo roztoku soli je možné obarvit čistou vodu v kádince). Otvor v kelímku utěsníme jehlou a naplníme kádinku čistou (popř. obarvenou) vodou. Do kelímku nalijeme slaný roztok tak, aby rozdíl obou hladin byl minimální (hladina v kelímku by měla být výše než hladina v kádince). Poté vytáhneme jehlu z otvoru ve dně kelímku, čímž umožníme periodické přetékání kapalin. Pro projekci celého pokusu je vhodné použít diaprojektor a spojnou čočku (viz obrázek).

Vysvětlení: Pokud nepůsobí obě kapaliny v otvoru stejným hydrostatickým tlakem (tzn. kapaliny nejsou v rovnovážném stavu), dojde k toku kapaliny z jedné nádoby do druhé.

Válec vody pod otvorem (tzn. válec se stejným obsahem S podstavy jako otvor a s výškou ) můžeme považovat za kompaktní těleso o hmotnosti . Na toto těleso působí hydrostatické síly ,  (, ), gravitační síla  a vztlaková síla  (pokud voda proudí nahoru, je , , v opačném případě je , ). Celková síla působící na těleso tedy je  (kladné znaménko odpovídá síle působící nahoru). V okamžiku, kdy je tato síla nulová, dojde k odtržení tělesa a voda zároveň začne téct na opačnou stranu.

Je třeba definovat veličinu  udávající výšku válcového tělesa: musíme přitom rozlišit, zda voda proudí

     1)  nahoru: pokud je výška vody v kelímku cca , pak , jinak se proud vody rozpadne v jisté výšce  a pak ;

     2)  dolů: je-li vzdálenost den cca , pak , v opačném případě (proud vody se rozpadne ve výšce ) je .

 Sestavením příslušné diferenciální rovnice (2. řádu) typu  (tzn. rovnice kmitání s , kde  značí rychlost proudu vody) a modelováním zjistíme, že daný systém nejenže kmitá neharmonicky (zřejmé z toho, že ), ale také s rostoucí amplitudou (omezena třením v kapalině).

Samozřejmě se nejedná o jakési perpetuum mobile, ale o to, že hustota kapaliny v horní nádobě klesá, tzn. systém ztrácí potenciální energii, která se přeměňuje na energii kinetickou.

Pozn.: Je nutné, aby otvor měl vhodnou velikost - řádově desetiny mm. Při větším otvoru nutně dojde k ustavení dvou protiběžných proudů, při menším se na otvor často nalepí bublinka vzduchu, která znemožní přetékání kapalin.